복소 시공간

수학 및 수리물리학에서 복소 시공간(영어: Complex spacetime)은 실수 공간 및 시간 좌표로 설명되는 시공간의 전통적인 개념을 복소수 공간 및 시간 좌표로 확장한 개념이다. 이 개념은 물리학을 암시하지 않고 완전히 수학적이지만 예를 들어 윅 회전처럼 유용할 수 있다.

실 공간과 복소 공간

수학적 기초

실 선형 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 스칼라를 실수가 아니라 복소수로 바꾸면 복소수 선형 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 이 생성된다. 복소 내적 공간의 경우 벡터의 일반적인 실수 값 내적은 복소 내적으로 대체된다. 이는 미분 기하학적 성질을 내포하고 있는데, 미분기하학에서 "복소다양체"라고 부르는 다양체의 한 종류다. 모든 복소수는 두 개의 실수로 구성되기 때문에 선형 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 은 $\mathbb {R} ^{2n}$ 와 관련될 수 있다.

물리학

특수 상대성이론과 일반 상대성이론의 민코프스키 공간은 4차원 유클리드 공간과 비슷하다. 중력을 미분기하학적으로 설명하는 아인슈타인 장 방정식의 기초가 되는 시공간은 실 4차원 준 리만 다양체이다.

양자 역학에서 입자를 설명하는 파동 함수는 위치를 나타내는 3차원 실 벡터 및 시간 변수의 복소수 함수이다. 주어진 계에 대한 모든 파동함수의 집합은 무한 차원의 복소수 힐베르트 공간이다.

역사

4차원을 초과하는 차원을 갖는 시공간의 개념에 대한 관심은 그 자체적 수학적 옳음에 있다. 물리학에서의 등장은 중력과 전자기력를 통합하려는 시도에 뿌리를 둘 수 있다. 이러한 아이디어는 끈 이론과 그 너머에 널리 퍼져 있다. 복소 시공간의 개념은 상당히 덜 주목을 받았지만 로렌츠&디랙 방정식 및 맥스웰 방정식과 함께 고려되어 왔다.^[1]^[2] 다른 아이디어들에는, 실 시공간을 $SU(2)$ 의 복소 표현 공간으로 보내는 것이 포함된다. 트위스터 이론을 참조하라.^[3]

1919년, 독일 수학자 테오도어 칼루차는 일반 상대성이론을 5차원 시공 모델로 확장한 연구 결과를 알베르트 아인슈타인에게 보냈는데,^[4] 아인슈타인은 칼루차의 이론에서 중력과 전자기력을 함께 나타내는 방정식이 나온 방식에 깊은 인상을 받았다. 1926년에 오스카르 클레인은^[5] 칼루차가 제안한 이론에서 마치 1차원 원형 공간이 시공간의 모든 점 안에 숨겨져 있는 것처럼 기존의 4차원 시공간을 이외에 해당하는 공간이 극도로 작은 원으로 말려 있을 수 있다고 제안했다. 추가 차원은 각도로도 생각할 수 있으며, 이는 360° 회전하면서 공간을 생성한다. 이 5차원 이론을 칼루차-클레인 이론이라고 한다.

1932년 MIT의 Hsin P. Soh는 아서 에딩턴의 조언을 받아 복소 4차원 리만 기하학 내에서 중력과 전자기학을 통합하려는 이론을 발표했다. 복소 리만 다양체의 선 요소 $ds^{2}$ 는 복소수 값이므로 실수 부분은 질량과 중력에 해당하고 허수 부분은 전하와 전자기에 해당한다. 일반적인 장소 $x,y,z$ 및 시각 $t$ 좌표 자체는 실수이지만 접공간은 복소 공간이 허용된다.^[6]

1915년 일반 상대성이론이 발표된 후 수십 년 동안 알베르트 아인슈타인은 중력과 전자기학을 통합하여 두 상호 작용을 설명하는 통일장 이론을 만들려고 했다. 2차 세계대전 말기에 알베르트 아인슈타인은 다양한 종류의 복소 시공간 기하학을 고려하기 시작했다.

1953년에 볼프강 파울리는^[7] 칼루차–클레인 이론을 6차원 공간으로 일반화하고 (차원 축소를 사용하여) 클라인의 "말려 있는" 원이 극소 초구의 표면이 된다 가정하고 $SU(2)$ 게이지 이론의 핵심을 유도했다.

1975년 Jerzy Plebanski는 "복소 아인슈타인 방정식의 몇 가지 해들"이란 논문을 출판했다.^[8]

복소 시공간에서 해석적 연속을 통해 디랙 방정식을 공식화하려는 시도가 있었다.^[9]

같이 보기

각주

↑ Trautman, A. (1962). “A discussion on the present state of relativity - Analytic solutions of Lorentz-invariant linear equations”. 《Proc. R. Soc. A》 270 (1342): 326–328. Bibcode:1962RSPSA.270..326T. doi:10.1098/rspa.1962.0222.
↑ Newman, E. T. (1973). “Maxwell's equations and complex Minkowski space”. 《J. Math. Phys.》 (The American Institute of Physics) 14 (1): 102–103. Bibcode:1973JMP....14..102N. doi:10.1063/1.1666160.
↑ [Roger Penrose Roger Penrose] |url= 값 확인 필요 (도움말) |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
↑ Pais, Abraham (1982). 《Subtle is the Lord ...: The Science and the Life of Albert Einstein》. Oxford: Oxford University Press. 329–330쪽.
↑ Oskar Klein (1926). “Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie”. 《Zeitschrift für Physik A》 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy...37..895K. doi:10.1007/BF01397481.
↑ Soh, H. P. (1932). “A Theory of Gravitation and Electricity”. 《J. Math. Phys. (MIT)》 12 (1–4): 298–305. doi:10.1002/sapm1933121298.
↑ N. Straumann (2000). “On Pauli's invention of non-abelian Kaluza–Klein Theory in 1953”. arXiv:gr-qc/0012054. Bibcode:2000gr.qc....12054S.
↑ Plebański, J. (1975). “Some solutions of complex Einstein equations”. 《Journal of Mathematical Physics》 16 (12): 2395–2402. Bibcode:1975JMP....16.2395P. doi:10.1063/1.522505.
↑ Mark Davidson (2012). “A study of the Lorentz–Dirac equation in complex space-time for clues to emergent quantum mechanics”. 《Journal of Physics: Conference Series》 361 (1): 012005. Bibcode:2012JPhCS.361a2005D. doi:10.1088/1742-6596/361/1/012005.

더 읽어보기

Goenner, Hubert F.M. (2014). “On the history of unified field theories Part II (ca. 1930 — ca. 1965)”. 《Living Reviews in Relativity》 17 (5): 5. Bibcode:2014LRR....17....5G. doi:10.12942/lrr-2014-5. PMC 5255905. PMID 28179849.

[1] Trautman, A. (1962). “A discussion on the present state of relativity - Analytic solutions of Lorentz-invariant linear equations”. 《Proc. R. Soc. A》 270 (1342): 326–328. Bibcode:1962RSPSA.270..326T. doi:10.1098/rspa.1962.0222.

[2] Newman, E. T. (1973). “Maxwell's equations and complex Minkowski space”. 《J. Math. Phys.》 (The American Institute of Physics) 14 (1): 102–103. Bibcode:1973JMP....14..102N. doi:10.1063/1.1666160.

[3] [Roger Penrose Roger Penrose] |url= 값 확인 필요 (도움말) |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)

[4] Pais, Abraham (1982). 《Subtle is the Lord ...: The Science and the Life of Albert Einstein》. Oxford: Oxford University Press. 329–330쪽.

[5] Oskar Klein (1926). “Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie”. 《Zeitschrift für Physik A》 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy...37..895K. doi:10.1007/BF01397481.

[6] Soh, H. P. (1932). “A Theory of Gravitation and Electricity”. 《J. Math. Phys. (MIT)》 12 (1–4): 298–305. doi:10.1002/sapm1933121298.

[7] N. Straumann (2000). “On Pauli's invention of non-abelian Kaluza–Klein Theory in 1953”. arXiv:gr-qc/0012054. Bibcode:2000gr.qc....12054S.

[8] Plebański, J. (1975). “Some solutions of complex Einstein equations”. 《Journal of Mathematical Physics》 16 (12): 2395–2402. Bibcode:1975JMP....16.2395P. doi:10.1063/1.522505.

[9] Mark Davidson (2012). “A study of the Lorentz–Dirac equation in complex space-time for clues to emergent quantum mechanics”. 《Journal of Physics: Conference Series》 361 (1): 012005. Bibcode:2012JPhCS.361a2005D. doi:10.1088/1742-6596/361/1/012005.

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